2a. Пространство. Время. Движение | страница 20

Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычис­лить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо посту­пить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда

10^>i>/>1024=1,00000+0,0022486i. (22.7)

Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до сте­пеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули про­цедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10^>is>равна нулю. Значение у в этом случае равно i, т. е. 10^>is=i, или is=log_>10i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью Iog_>10i. Процедура поиска Iog_>10i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log_>102.

Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения ком­плексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит ум­ножение этого числа на число, мнимая часть которого прибли­зительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы пе­рескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умно­жим на 0,99996-0,00900 i (ведь x^>2+y^>2=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128 + +64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, Iog_>10i=0,068226i.

Таблица 22.3 · последовательное: вычисление квадратов

10^>i>/1024 =1+0,0022486i

§ 6. Мнимые экспоненты

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции 10^>is.

Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каж­дый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и по­смотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.