вычислим не только x=10 >V>2 , но решим и другую задачу: 10>x=2, или x=log>102. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.
Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 10>1 и 10>1>/>10, и 10>1>/100, и 10>1>/>1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 10>1>,>414>..., или 10 >Ц>2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо 10>1>/>10 и т. д. мы будем вычислять 10>1>/>2, 10>1>/>4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что
log>b(ac)= log>ba+log>bc. (22.3)
Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислений положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение b>а=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение х>а'=с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: x=b>t. Найти t, зная х и b, просто: t=log>bx. Подставим теперь х=b>tв уравнение x>a>' =с; оно перейдет в такое уравнение: (b>t)>а'=b>ta>'=с. Иными словами, произведение ta' есть логарифм с по основанию b. Значит, a'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию b на постоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/log>bx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)
