6. Электродинамика | страница 73
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегрируем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференцированию j по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
