8a. Квантовая механика I | страница 35
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если | +z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы q и j, то в обозначениях гл. 3 мы имеем
Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |y>=|1>C>1+|2>С>2, Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>, Значит, С>1и С>2 меняются только по фазе. Мы знаем, что
и
Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С>1и С>2были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С>1 и С>2 мы получим из прежних умножением соответственно на
Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |y> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Dj=2mB>zT/h. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2mB>z/h. Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.
Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы (H>11+H>22) было равно нулю (так что H>11=-H>22). И тогда любая задача о такой системе формально
