8a. Квантовая механика I | страница 34

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом 6 и азимутальным углом j (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В опре­деляется полярным углом q и ази­мутальным углом j.

Допу­стим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С_>1и С_>2для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать

где C_>1и С_>2 равны

а |1> и |2>обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон нахо­дится в стационарном состоянии с энергией Е_>I=-mB. Поэтому и c_>1 и С_>2 должны изменяться как

[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а_>1и а_>2 даются формулой (8.5):

Вдобавок a_>1 и а_>2 должны быть нормированы так, чтобы было |a|^>2 +|а_>2|^>2=1. Величины Н_>11и H_>12 мы можем взять из (8.22), используя равенства

B_>z=Bcosq, В_>х=Вsinqcosj, В_>у=Вsinqsinj.

Тогда мы имеем

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -mB, находим

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а_>1, и а_>2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибег­нув к одному трюку. Известно, что

1-cosq=2sin^>2(q/2) и sinq=2sin(q/2)cos(q/2). Значит, (8.27) совпадает с

Один из ответов, следовательно, таков:

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Вы знаете, что умножение a_>1 и а_>2 на произвольный фазовый мно­житель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e'f'^>2. Принято пи­сать так:

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а_>1и а_>2 — это ампли­туды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (q,j). [Амплитуды C_>1и С_>2равны просто a_>1 и a_>2, умноженным на

Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином ^>1/_>2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином