Логика для всех. От пиратов до мудрецов | страница 32

Все сочинения Пушкина нельзя прочитать за одну ночь. «Сказка о рыбаке и рыбке» – сочинение Пушкина. Следовательно, «Сказку о рыбаке и рыбке» нельзя прочитать за одну ночь.

Этого не может быть никогда, потому что если бы люди жили на луне, то заслоняли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастбищами.

А. П. Чехов. «Письмо к ученому соседу»

С методом доказательства от противного каждый школьник неизбежно сталкивается (неожиданно, и поэтому, порой, жестко) на уроках геометрии. Надеемся, что ученик, разобравшийся с материалом предыдущих занятий, воспримет метод от противного как естественное продолжение знакомства с логикой и будет избавлен от неуместных формальных трудностей при изучении геометрии.

Задача 7.1 служит вводным упражнением, показывающим логическую основу метода от противного. С формальной точки зрения он состоит в замене доказательства того, что из А следует Б, на доказательство того, что из «не Б» следует «не А». Как показывает задача 7.2, иногда такой простой трюк существенно облегчает задачу.

Однако настоящая мощь метода от противного проявляется при более широком его понимании. Пусть дано А, а доказать требуется Б. Предположив противное, мы получим уже два условия: А и «не Б», а с двумя условиями работать легче, чем с одним. Из них требуется получить два любых противоречащих друг другу высказывания: В и «не В». Задачи 7.2, 7.3 и 7.4 демонстрируют, что В может как совпадать с одним из условий А или Б, так и быть новым утверждением.

Иногда метод от противного удается применить при решении задач, в формулировке которых условия А и Б явно не выделены (см. задачу 7.6 и комментарий к ней). Достаточно усвоить идею «Предположим противное и поищем противоречие».

Задача на доказательство не всегда содержит слово «докажите». Иногда решающий должен сам выбрать верный ответ на вопрос типа «Можно ли…», «Существует ли…» ит. п., а потом доказать правильность ответа. Если ответ отрицательный, часто бывает удобно предположить, что он положительный, а затем прийти к противоречию. Такое рассуждение от противного применяется в задачах 7.6 и 7.11, а также ДЗЗ и Д36.

Немного рекламы.

1) Доказательство от противного порадует любителей перебора: мы просто рассматриваем все случаи (часто их всего два, но может быть и больше), исключаем приводящие к противоречию и делаем вывод, какой из случаев выполняется.

2) «Противное» часто оказывается хорошим. От противного удобно доказывать «отрицательные» качества: неделимость, иррациональность, бесконечность. А предположив противное, мы сразу получим что-то хорошее, с дополнительными свойствами (делимость на простое число, числитель и знаменатель рациональной дроби, размер конечного множества).