3) Метод от противного не помешает даже там, где он не нужен. Пусть дано А, и из этого без всякого «противного» можно доказать Б. Но мы этого не заметили и зачем-то предположили «не Б». И только после этого из А (без использования «не Б») получили Б. Вот и хорошо! Б и «не Б» противоречат друг другу, метод от противного сработал.
А теперь антиреклама.
1) Если метод от противного сработал описанным только что образом, самое время упростить доказательство и выбросить из него «противную» оболочку.
2) Недостаток логической культуры может привести к некорректному «доказательству» от противного. Одна из целей этого занятия, да и всей книжки – научить, как таких ошибок избегать. В частности, задача 7.5 еще раз напоминает о неравносильности обратных друг другу высказываний.
3) Одно дело – понять, что надо искать противоречие, и совсем другое – уметь его находить. Поиск противоречия часто связан с владением специфической техникой (подсчет двумя способами, инварианты, раскраски, свойства делимости, принцип Дирихле, неравенства и оценки и т. д.). Мы постарались включить в занятие задачи, которые можно решить (а отмеченную звездочкой хотя бы понять) без специальной подготовки.
Задача 7.1. Если рыцарь встречает дракона, то рыцарь вступает в бой.
1) Составьте к этому высказыванию обратное, противоположное и противоположное обратному.
2) Известно, что рыцарь вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона?
3) Рыцарь не вступил в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона?
Ответ. 1) Обратное: если рыцарь вступает в бой, то рыцарь встречает дракона. Противоположное: если рыцарь не встречает дракона, то рыцарь не вступает в бой. Противоположное обратному: если рыцарь не вступает в бой, то рыцарь не встречает дракона.
2) Не означает. Рыцарь мог вступить в бой не только с драконом. Например, с ветряными мельницами. Как мы не раз убеждались, истинность прямого и обратного высказывания никак не связаны.
3) Означает. Ведь если бы он встретил дракона, то вступил бы в бой, что противоречит условию. То есть истинному прямому высказыванию соответствует истинное высказывание, противоположное обратному. А это значит, что их можно заменять друг на друга.
Задача 7.2. Многозначное число не содержит повторяющихся цифр. Докажите, что оно не может быть произведением двух меньших чисел, состоящих только из единиц и нулей.
Обсуждение. Как подступиться к этой задаче? Чисел без повторяющихся цифр много, и общие выводы делать о них затруднительно. Попробуем вместо прямой задачи решить противоположную обратной: докажем, что число, являющееся произведением двух чисел, состоящих только из единиц и нулей, содержит повторяющиеся цифры.
