Логика для всех. От пиратов до мудрецов | страница 30

До сих пор мы обсуждали только утвердительные высказывания. Чтобы делать выводы из отрицательных высказываний, иногда проще всего заменить их на утвердительные высказывания того же смысла. Например, вместо высказывания «Ни одно доброе дело не остается безнаказанным» можно рассматривать такое: «За любое доброе дело наказывают». Но можно нарисовать и исходное высказывание (рис. 15).

Рис. 15

Задача 6.4. Ни одна кочерга не мягкая. Все подушки мягкие. Какой можно сделать вывод?

Решение. Нарисовав высказывания, видим, что никакой предмет не является кочергой и подушкой одновременно. Сформулировать это можно двумя способами: «Ни одна кочерга не является подушкой» или «Ни одна подушка не является кочергой» (рис. 16).

Рис. 16

Зачем математику уметь работать с абсурдными утверждениями? В естественно возникающих задачах вряд ли могут встретиться вороны, собирающие картины. Однако с посылками сомнительной истинности приходится сталкиваться постоянно. И бывает полезно заранее понять, имеет ли смысл их доказывать или опровергать. Скажем, в условии задачи дано А и требуется определить, верно ли В. Пусть нам ясно, что В следует из Б, но неизвестно, верно ли Б. Стоит ли пытаться вывести Б из А? Да, стоит: если А ⇒ Б, то В верно. Но если окажется, что Б не следует из А, то никакого вывода об истинности В сделать пока не удастся. Рассмотрим пример подобных рассуждений.

Задача 6.5. Является ли точным квадратом число:

а) 1234567; б) 10101… 01 (всего 2015 единиц и 2014 нулей); в) 20122013201420152016?

Ответ, а), б), в) Нет.

Решение, а) Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 7, не является квадратом натурального числа. Число 1234567 оканчивается на 7. Следовательно, оно не является квадратом.

Комментарий. Логически решение безупречно, но верно оно, только если верны обе посылки. Истинность второй не вызывает сомнений. Чтобы убедиться в истинности первой, достаточно поочередно возвести в квадрат все однозначные числа. А то, что последняя цифра числа полностью определяет последнюю цифру его квадрата, ясно каждому, кто умеет умножать в столбик.

б) Попробуем действовать так же и подумаем, верно ли высказывание: «Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 1, не является точным квадратом». К сожалению, неверно. Контрпримерами служат, в частности, 1 и 81. К еще большему сожалению, из этого нельзя сделать никакого вывода, кроме того, что надо решать задачу по-другому. Рассмотрение двух последних цифр столь же бесполезно, квадрат числа вполне может оканчиваться на 01, например, 101