Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 40

Слева — представление комплексных чисел. На оси X откладывается вещественная часть, на оси Y — мнимая. В центре представлена сумма двух комплексных чисел (1 + 3i) + (2 + i), справа — произведение (1 + 7i) и мнимой единицы i.

* * *

Природа состоит из неодушевленных предметов (облаков, гор, побережий, снежинок), живых организмов (растений, микроорганизмов, водорослей, кораллов) и их структур (бронхиальной системы, кровеносной системы или нейронных сетей), в которых снова и снова повторяется один и тот же узор. На каком бы уровне ни производились наблюдения, в любом масштабе (на расстояниях порядка нескольких метров, сантиметров и даже миллиметров) существует некая повторяющаяся схема. Подобные структуры, обладающие самоподобием, называются фракталами.

Основная идея проста: природа выстраивает структуры, следуя принципу наименьших затрат, а затем этот шаблон или образец повторяется в разном масштабе. Классический пример — ветвление растений. Нетрудно видеть, что отдельная большая ветвь и отходящие от нее мелкие ветви есть не что иное, как уменьшенная версия всего растения в целом.

Ветвление растений — пример фрактальной структуры в природе.

Сегодня считается, что температура здорового тела, дыхательный ритм и артериальное давление подобны фракталам. Если мы будем измерять температуру тела и артериальное давление каждые десять минут, раз в неделю или в месяц, а затем представим данные графически, построенный график будет обладать самоподобием. Но во время заболевания самоподобие на графиках не наблюдается. Заболевание — это утрата системой сложности, когда физиологические переменные перестают описываться фракталами.

Другой пример — электроэнцефалограмма человека. Ее аттрактор также имеет фрактальную природу. Размерность аттрактора D (о понятии размерности поговорим чуть позже) будет неким числом. С точки зрения нейрофизиологии по-настоящему интересно то, что значение D зависит от состояния человека и отличается у здоровых людей в состоянии бодрствования, здоровых людей, находящихся под воздействием анестезии, и у эпилептиков.

Какие свойства фракталов делают их столь интересными? Их размерность не выражается целым числом, а мы к этому привыкли в нашем мире, который математики называют евклидовым. Так, лист бумаги имеет длину и ширину, поэтому его размерность