(1),
у(2),
у(3) и т. д. Чтобы получить точные значения, нам потребовалось бы подставить в полученное выражение значения
t = 1, 2, 3 и т. д. При использовании метода Эйлера программа будет выглядеть так:
> ‘начальные условия и параметры уравнения Ферхюльста
>у(0): r: k
> ‘максимальное время моделирования
>tmax
> ‘увеличение времени
>Inct
> ‘дифференциальное уравнение
>For t = 0 ТО tmax
> y(t + 1) = y(t) + Inct*(r*y(t)*(k — y(t)))
>print t, y(t + 1)
> End
Сразу видно, что решение дифференциального уравнения на компьютере по методу Эйлера заключается в том, чтобы предсказать будущее состояние системы у(t + 1) по текущему состоянию у(t), как если бы мы выполняли итерирование уравнения в конечных разностях. Сделаем оговорку: в итоговые вычисления мы включаем произведение времени, прошедшего между у(t + 1) и у(t), и выражения, которое является решением дифференциального уравнения. Можно убедиться, что выражение Эйлера не более чем уравнение прямой, угол наклона которой описывается дифференциальным уравнением. С помощью этой касательной прямой в точке можно предсказать будущее состояние или поведение системы у(t + 1) с большей точностью, чем при использовании разностных уравнений.
Помимо дифференциальных уравнений и отображений для моделирования динамических систем используются клеточные автоматы.
* * *
МАГИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
С древних времен человек чувствовал непреодолимое желание превзойти самого себя, и это стремление лежит в основе всевозможных изобретений в самых разных областях, однако особенно ярко творческие способности человека проявились в математике. В качестве примера приведем комплексные числа. Существует ли число, квадрат которого является отрицательным?
Существуют ли квадратные корни из отрицательных чисел? Утвердительный ответ на оба этих вопроса дали итальянские математики Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в середине XV века. Найденные ими числа названы мнимыми. С того времени из соображений удобства мнимая единица обозначается буквой i. Ее значение равно i = √—1 или, что аналогично, i>2 = -1. На основе мнимой единицы были определены так называемые комплексные числа. Ученые и инженеры используют их в самых разных областях с той же легкостью, с какой мы в повседневной жизни применяем 10, 23, 6, 1/2 и т. д. Комплексные числа состоят из двух частей — вещественной а и мнимой Ь. К примеру, комплексными являются 3 + 2i, 6 + 7i, и т. д. В стандартной форме они записываются в виде
