Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 29
Математическое изучение раковых заболеваний проводится с использованием математических моделей и компьютерного моделирования. Математика при этом, во-первых, помогает выдвигать новые гипотезы о причинах образования опухолей, а во-вторых, использование математических моделей позволяет лучше проанализировать огромные объемы накопленных экспериментальных и клинических данных.
Биологи и математики рассматривают опухоли как сложные системы. Раковые клетки в них взаимодействуют между собой и с другими клетками, при этом их поведение нельзя объяснить, если мы будем рассматривать раковые клетки изолированно от других. Согласно этому подходу, предполагается, что опухоль образуется не в результате сбоя в конкретном гене. Причиной рака является общий сбой взаимодействия между генами. Проводя параллель с интернетом, рак можно считать результатом нарушения работы множества компьютеров в сети (DNS-серверов, маршрутизаторов и т. д.), а не результатом сбоя какого-то конкретного компьютера.
В 1964 году исследователь по фамилии Лэйрд заметил, что рост опухолей в условиях ограниченного пространства и питательных веществ описывается функцией Гомпертца. Классическим примером является рак груди. Скорость роста опухоли в этих условиях, у' (размер опухоли может быть выражен через ее объем или число клеток), описывается следующим дифференциальным уравнением:
В этом выражении α — параметр, описывающий способность раковых клеток опухоли к росту, К — максимально возможный размер опухоли (напомним, что объемы ткани, в которой находится опухоль, и количество питательных веществ ограничены). Решением этого дифференциального уравнения будет функция Гомпертца, предложенная английским математиком Бенджамином Гомпертцем в 1825 году как уточнение модели Мальтуса. Функцию Гомпертца первыми применили страховые компании. Основная ее идея заключается в том, что с увеличением возраста уровень смертности возрастает в геометрической прогрессии.
Гомпертц описал любопытную связь между уровнем смертности, который мы обозначим через R>m, и возрастом t:
R>m = R>0e>βt + A
Особенность этого выражения заключается в том, что А играет удивительную роль: эта величина отражает воздействие на уровень смертности факторов, не связанных с возрастом человека. К примеру, рост средней продолжительности жизни в развитых странах обусловлен именно тем, что удалось значительно снизить значение А благодаря росту уровня жизни и созданию более здоровой среды. На снижение А могли повлиять рост городов, появление зданий, защищенных от воздействия климата, улучшение гигиены, питания и т. д. Тем не менее параметр