Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 30

остается неизменным. Сердечные и раковые заболевания стали причиной того, что, с одной стороны, R_>m в результате снижения А уменьшилось, но, с другой стороны, с возрастом R_>m увеличивается. Дастся ли нам когда-нибудь устранить или существенно снизить воздействие возраста, или t, на R?

Если мы используем функцию Гомпертца в ином контексте, в частности применительно к раковым заболеваниям, то размер опухоли у будет описан выражением:

где у(0) — начальный размер опухоли. Если пациент проходит лечение, то у(0) будет меньше К, в противном случае размер опухоли будет увеличиваться.

Кривая Гомпертца, описывающая рост раковой опухоли (N — размер опухоли, t — время).

Эта функция весьма схожа с сигмоидой (логистической функцией): рост опухоли замедлен в начале и конце процесса. Замедление в конце процесса кажется очевидным, если учесть, что по мере роста опухоли клетки, расположенные внутри нее, получают меньше кислорода, отмирают и вызывают некроз ядра опухоли. В результате ее размер стабилизируется: рост внешней части уравновешивается отмиранием клеток во внутренней части.

Этому же закону подчиняется и динамика роста некоторых предприятий, в частности тех, где большую роль играют технологии, — фармацевтических компаний или операторов мобильной связи. Вначале затраты на исследования, патенты и т. д. превышают доходы от продаж, затем компания переживает период бурного роста и получает прибыль. На следующем этапе продажи падают, так как рынок постепенно насыщается. Также функцией Гомпертца описывается рост органов эмбриона или, что еще любопытнее, регенерация хвоста у ящерицы.

Хотя приведенное выше выражение может показаться сложным, следует понимать, что благодаря компьютерам вычислить его значение сравнительно легко. По сути, речь идет о достаточно простом выражении вида

, в котором показатель степени возводится в новую степень.

В 1980-е годы исследователь Уэлдон заметил, что этой функцией не очень точно описывается рост опухолей малых размеров, поскольку в ней не учтены некоторые биологические аспекты, в частности роль иммунной системы. В поправке Уэлдона утверждается, что на первом этапе роста опухоли раковые клетки не сражаются за доступные ресурсы, и их рост описывается экспоненциальным законом, или моделью Мальтуса. Однако по достижении некоторого критического размера рост опухоли будет описываться уже не моделью Мальтуса, а функцией Гомпертца.

* * *