Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 21

Правило № 1: Будущее состояние конечного автомата равно предыдущему, если число соседей конечного автомата в состоянии 1 равно 2.

Правило № 2: Конечный автомат переходит из состояния 0 в состояние 1, если число его соседей в состоянии 1 равно 3.

Правило № 3: Третье правило моделирует соседство с большим или малым числом «живых» автоматов, то есть автоматов в состоянии 1. Если число соседних автоматов в состоянии 1 меньше 2, то есть 1 или 0, либо больше 3, то есть 4, 3, 6, 7 или 8, то конечный автомат «умирает», то есть переходит из состояния 1 в состояние 0.

Последовательно применяя правила перехода для всех конечных автоматов клеточного автомата, мы увидим, как в процессе эволюции постепенно появляются характерные шаблоны и фигуры.

Модель «хищник — жертва» и клеточные автоматы

Модель «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры стала одной из первых математических моделей в биологии и, возможно, одной из самых важных в математической биологии. Как мы уже отмечали, одно из преимуществ клеточных автоматов заключается в том, что для их использования не требуется знать дифференциальное уравнение, описывающее явление или систему. Модель «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры была представлена в 1984 году Александром Дьюдени в статье «Акулы и рыбы ведут экологическую войну на тороидальной планете Ва-Top» (Shark and Fish Wage an Ecological War on the Toroidal Planet Wa-Tor). He используя ни одно из уравнений, представленных Лоткой и Вольтеррой, Дьюдени получил похожие результаты на компьютере со стандартными для 1980-х годов характеристиками.

Целью Дьюдени было найти подходящие значения параметров модели, допускавшие сосуществование на небольшой решетке популяции хищников (акул) и жертв (рыб).

Дьюдени рассмотрел следующие параметры:

— число жертв (рыб);

— временной порог размножения рыб: если рыба выживает в течение определенного числа циклов (или заранее установленного времени моделирования) и ячейка остается свободной, в ней рождается рыба;

— число хищников (акул);

— максимальное время голодания хищников: если акула не может поймать рыбу в течение определенного числа циклов (или заранее установленного времени моделирования), она умирает;

— временной порог размножения акул: этот параметр определяется аналогично соответствующему параметру для рыб, однако значения этих параметров необязательно совпадают.

Фрагмент статьи Александра Дьюдени, посвященной модели «хищник — жертва» и опубликованной в декабрьском номере американского журнала Scientific American за 1984 год.