Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика | страница 7
* * *
Отношение между длинами двух струн обратно отношению между частотами звуков, издаваемых этими струнами. Например, если звуки разделены квинтой, то есть их частоты относятся как 3:2, то длины этих струн относятся друг к другу как 2:3. Далее мы не будем упоминать о длинах струн, а будем говорить только о частотах звуков.
Так, две ноты, частоты которых равны 440 Гц и 880 Гц, разделены интервалом в одну октаву и настроены в точном соответствии со стандартом для ноты ля. Ноты, частоты которых равны 442 Гц и 884 Гц, также разделены интервалом в одну октаву, хотя настроены не по стандарту. И наконец, ноты, частоты которых равны 443 Гц и 887 Гц, не разделены интервалом в одну октаву. На слух они распознаются как «ненастроенная октава».
* * *
ПРОКЛЯТИЕ АБСОЛЮТНОГО СЛУХА
Абсолютный слух — это способность, позволяющая на слух определять ноты. Если мы нажмем любую клавишу пианино, человек с абсолютным слухом сможет назвать прозвучавшую ноту. Абсолютный слух и музыкальное дарование не связаны между собой. На самом деле многие музыканты страдают от своего абсолютного слуха. Например, в хоровой музыке партитуры часто транспонируют, подстраивая их под тон, в котором будет лучше звучать хор. Песня может исполняться в полном соответствии с партитурой, но на полутон ниже. Исполняемые ноты не совпадут с нотной записью, и музыкант с абсолютным слухом придет в замешательство.
* * *
Соотношение между частотами нот позволяет на основе одного известного звука найти другой, отделенный от исходного любым интервалом. Для этого нужно умножить частоту исходного звука на соответствующий коэффициент. К примеру, зная частоту F>1 можно найти частоту F>2 звука на одну кварту выше, то есть в 4/3 раза больше, следующим образом:
Эту формулу можно последовательно применять несколько раз, используя необходимые множители. Например, если F>3 на одну большую терцию больше (отношение частот звуков будет равняться 5/4), чем F>2 можно вычислить отношение между F>3 и F>1 следующим образом:
Эти расчеты можно производить и в обратном порядке, используя деление вместо умножения. Например, частота F>4, которая на одну квинту ниже F>1, вычисляется так:
Музыкальная и численная формы представления интервалов тесно связаны между собой. Далее мы будем использовать и ту, и другую форму в зависимости от контекста.
Настройка пианино
Попробуем определить частоты 12 нот одной октавы пианино.
Будем действовать следующим образом: определив частоту одной ноты
