Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика | страница 36
Знаменитая Симфония № 5 до минор, соч. 67 Людвига ван Бетховена (1770–1827) — еще один пример диагонального переноса, в котором сочетаются вертикальный и горизонтальный переносы. Для верхнего голоса (выделен на партитуре, приведенной ниже) повторяется одна и та же мелодическая фигура, которая с каждым разом транспонируется все выше.
Отражения
Отражение — это преобразование, которое заменяет фигуру ее зеркальным отражением. Результатом отражения фигуры является ее хиральная копия, то есть такая фигура, которую нельзя совместить с исходной с помощью поворотов (представьте, например, отражение в зеркале человека с повязкой на правом глазу).
Чтобы вернуться к исходной фигуре, необходимо выполнить двойное отражение, то есть отразить отраженную фигуру еще раз. Мы рассмотрим два вида отражений: относительно горизонтальной и относительно вертикальной оси. Комбинация отражений относительно вертикальной и горизонтальной оси является поворотом на 180°, что показано на рисунке:
Если применить отражение к партитуре, получатся новые композиции: инвертированные и ракоходные.
Отражение относительно вертикальной оси: ракоход
В этом случае мелодия записывается заново, начиная с последней ноты, так что ноты исходной мелодии идут в обратном порядке:
Исполнение исходной и ракоходной мелодии подряд — это так называемая мелодическая симметрия, которую также можно назвать мелодическим палиндромом.
Очень известный пример подобной симметрии — «Аллилуйя» из оратории «Мессия» Георга Фридриха Генделя (1685–1759).
Аналогичную симметрию можно увидеть в начале известной композиции I've got Rhythm гениального американского композитора Джорджа Гершвина (1898–1937):
* * *
АМБИГРАММЫ
Симметрия цифр и букв проявляется в словах-палиндромах и числах-палиндромах. Менее известны амбиграммы — слова, написанные так, что при определенном преобразовании (отражении, повороте и т. д.) получается это же или другое слово. На рисунке изображена амбиграмма «Моцарт», автором которой является американец Скоп Ким.
* * *
Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия
Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно оси, проходящей через линию ре:
Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные относительно клавиши ре:
Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема использует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты начальных тактов отражаются, завершая такт:
