Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика | страница 15
Иными словами, можно, используя всего два целых числа, точно определить, во сколько раз А больше (или меньше) В. Однако уже пифагорейцы, к своему неудовольствию, обнаружили, что существуют несоизмеримые числа, отношение между которыми нельзя представить с помощью целых чисел. В настоящее время такие числа называют иррациональными. Самые известные иррациональные чисда — это π и √2. Корень из двух — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1, вычисленная по теореме Пифагора.
* * *
ТРИ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел, особенно первых четырех, называемых «тетракис».
Как видно на рисунке ниже,
3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:
2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:
Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2,2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.
* * *
Как вы уже увидели, при настройке интервалов так, чтобы соотношение частот равнялось 18/17, что предлагал Винченцо Галилей, нельзя получить чистые октавы. Число 18/17 достаточно точное, но стоит задаться вопросом: существует ли рациональное число, равное
Их не существует. Следовательно, если соотношение частот звуков описывается отношением целых чисел а/Ь, то цепочка из 12 полутонов не будет равна «настоящей» октаве. Если бы такие числа существовали, то выполнялось бы равенство
и, как следствие, существовали бы два целых числа а’ = а>6 и b’ = b>6 такие, что (а’/Ь’)>2 = 2. Следовательно, число √2 было бы рациональным, что невозможно.
Что сказали бы пифагорейцы, увидев, что задача о создании идеального музыкального строя решается с помощью иррациональных чисел?
