Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика | страница 12

Неизбежные сложности

Диатонический строй не миновали проблемы, неизбежно возникающие из-за несовместимости основных интервалов — октавы, квинты и терции. Почти для всех квинт соотношение частот звуков равно 3/2, но для квинты ре — ля оно немного меньше: 40/27. При дополнении диатонического строя диезами и бемолями все усложняется еще больше: неизбежно появляется волчья квинта.

Было предпринято множество попыток решить эту проблему с помощью различных темпераций — систем, в которых трудности при построении строя решаются в ущерб чистоте некоторых интервалов. Изменение чистоты каждого интервала определяет его «окраску».

Хотя построением различных строев и темперированием достигается относительно приемлемое равновесие, оно всегда основывается на тонике — ноте, от которой отсчитываются все остальные.

Если тоника остается неизменной, не возникает никаких трудностей. Однако при смене тонального центра изменяется весь строй.

Несмотря на то что абсолютная частота звуков, соответствующих всем нотам, остается неизменной, смена тонального центра нарушает равновесие, что приводит к смене «окраски».

Если музыкальное произведение, тональным центром которого является нота до, исполняется на инструменте, настроенном от до, то произведение звучит в точности так, как было задумано. Представим, что мы хотим исполнить это же произведение, но на тон выше, то есть с центром в ре, на том же инструменте, который по-прежнему настроен от до. Мелодия покажется нам не только более высокой, но и фальшивой.

Чтобы убедиться в этом, подробно рассмотрим интервал ре — ля. В диатоническом строе соотношение частот для этого интервала равно не 3/2, а 40/27. В новой интерпретации с тональным центром в ре интервал ре — ля займет место интервала до — соль, соотношение частот для которого равно 3/2.

Решение проблемы

Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий «ненастроенных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать такой строй, в котором все соотношения между нотами оставались бы неизменными вне зависимости от выбора тонального центра? Эту проблему нельзя решить посредством уравнивания интервалов, изменяя частоту нот так, чтобы увеличить или уменьшить определенные интервалы. Решение задачи заключается в том, что октава изначально должна делиться на 12 равных интервалов. Эти 12 интервалов должны разбиваться на 12 равных полутонов, которые в сумме составляют одну октаву.

Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке предложил разделить октаву на 12 равных полутонов. Соотношение частот этих полутонов равнялось 18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты, соотношение частот для которых равнялось 1,9855… и 1,4919… соответственно.