Том 13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики | страница 9
Размах вариации
Размах вариации — это разность между наибольшим и наименьшим значением. Например, если дана выборка 2, 6, 7,12,12,18, размах вариации равен 18 — 2 = 16. Этот показатель очень просто вычислить, но он обладает определенным недостатком: в нем не учитывается информация, содержащаяся во всей выборке. Анализ только крайних значений, которые могут встречаться очень редко, явно недостаточен, особенно если выборка велика. Если элементов выборки мало (например, 4–5), размах вариации — подходящий показатель. Если число элементов выборки равно двум, то этот показатель столь же удобен, как и все остальные.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
Наиболее часто используемый показатель вариации — среднеквадратическое отклонение. Чтобы определить его, начнем с дисперсии, так как среднеквадратическое отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.
Если бы мы хотели разработать какой-то показатель вариации, то очевидно, что в его расчете должны были бы использоваться все данные, как в случае со средним арифметическим. Например, дана выборка 1, 2, 4, 7 и 9. Можно вычислить среднюю разность между каждым значением и средней величиной, равной 4,6:
Однако этот показатель всегда будет равен нулю вне зависимости от того, какими будут элементы выборки. Следовательно, он не имеет смысла (его значение одинаково вне зависимости от вариации). Используем абсолютные значения разностей:
Этот показатель называется среднее абсолютное отклонение. Он достаточно удобен, так как большему разбросу данных соответствует большее значение этого показателя. Но все же гораздо более интересными свойствами обладает показатель, в котором проблема взаимного сокращения разностей решается путем возведения их в квадрат:
Разность между каждым значением и средним арифметическим 4,6. Дисперсия — среднее значение квадратов этих разностей.
Этот показатель называется дисперсией. Он позволяет оценить разброс значений, а также лежит в основе многих статистических методов. Дисперсия обозначается δ>2. Недостаток дисперсии заключается в том, что ее единица измерения — это единица измерения исходных данных, возведенная в квадрат. Если исходная выборка состоит из значений длины в метрах, единицей измерения дисперсии будет квадратный метр, что несколько усложнит интерпретацию. Решение этой проблемы очень простое: нужно всего лишь извлечь из дисперсии квадратный корень.
Полученное значение, которое мы будем обозначать
