«Cubum autem in duos cubos, aut quadrate-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».
Что в переводе означает:
«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Другими словами, Ферма утверждал, что уравнение х>n + у>n = z>n не имеет рациональных решений при х, у, z, отличных от нуля, и n > 2, и оправдывал отсутствие пояснений тем, что найденное им чудесное доказательство не поместится на полях этой страницы. Это напоминает нам пометку к задаче 29 книги IV. Разумеется, это доказательство никогда не увидело свет.
Этот и другие комментарии Ферма не перестают удивлять нас. С одной стороны, кажется, что Ферма никогда не имел намерений опубликовать их. Поэтому от него не следует ожидать каких-либо подробных доказательств. Они больше похожи на личные заметки, которые были нужны, чтобы затем можно было вспомнить ход рассуждений и заняться углубленным изучением темы. Но, с другой стороны, они написаны так, как будто обращены к читателю. Иначе зачем нужно было объяснять самому себе, что чудесное доказательство не поместится на полях страницы или что он не приводит доказательство, так как позднее надеется опубликовать отдельную большую книгу по этой теме? По-видимому, эти пометки действительно были частью его личного дневника, но в то же время Ферма хотел подготовить издание «Арифметики» со своими комментариями.
Вклад Ферма
Как бы то ни было, комментарий не пропал напрасно. Ферма много раз возвращался к нему и действительно хотел привести в порядок и записать свое «чудесное доказательство». Первое, что понял Ферма: из любого рационального решения можно получить целое решение путем умножения на наименьшее общее кратное знаменателей.
Следовательно, достаточно показать, что уравнение не допускает целых решений. С другой стороны, нетрудно видеть, что достаточно доказать лишь случаи для n = р, где р — простое, и для n = 4. Все остальные случаи будут доказаны автоматически. Если n = рm, то уравнение х>n + у>n = z>n будет иметь вид х>mр + у>mр = z>mp, откуда получим (х>m)>р + (у>m)>р = (z>m)>p. Если для показателя степени р решения отсутствуют, то они также отсутствуют для показателей степени, кратных
