Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 54
Он писал: «Доказательство этой теоремы зависит от различных и запутанных свойств чисел, и я не могу привести его здесь. Я решил посвятить этому вопросу отдельный и полный труд и тем самым удивительным образом продвинуть арифметику далеко за пределы, известные еще с древних времен».
Но эта работа так никогда и не увидела свет. Написал ли ее Ферма? Действительно ли ему удалось найти какое-то доказательство? Неизвестно. Это еще одна загадка Ферма. Известно лишь, что этой задачей занимались математики масштаба Лежандра, Лагранжа, Эйлера и Гаусса, и каждому из них удалось внести свой вклад в ее решение.
В 1770 году Жозеф Луи Лагранж доказал случай для квадратов, то есть утверждение, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Доказательство этой теоремы для треугольных чисел принадлежит Гауссу, который 10 июля 1796 года записал в дневнике: «**EYRHKA num = Δ + Δ + Δ».
Этот частный случай оказался эквивалентен следующему утверждению: любое число вида 8m + 3 можно представить в виде суммы трех нечетных квадратов. Дирихле, в свою очередь, изучал, сколькими способами можно представить данное число в виде суммы трех треугольных чисел. Наконец, в 1813 году Коши привел полное доказательство. Для полного решения задачи, вкратце записанной на полях книги, понадобилось почти 150 лет.
Портрет математика Огюстена Луи Коши, который завершил доказательство теоремы, сформулированной Ферма на основе задачи 29 книги IV «Арифметики» Диофанта.
Возвращаемся ко второй книге: задача 8
Задача 8 книги II, несомненно, является важнейшей вехой в истории, которая рассказывается в этой книге. Эта задача звучит так:
«Представить квадратное число в виде суммы двух квадратов».
Затем Диофант приводит следующее решение:
«Пусть дано квадратное число 16. Пусть х>2 — один из искомых квадратов. Следовательно, 16 — х>2 также будет квадратом. Возьмем квадрат вида (mx — 4)>2, где m — любое целое, 4 — квадратный корень из 16. Возьмем в качестве примера (2х — 4)>2 и приравняем это выражение к 16 — х>2. Следовательно, 4х>2 — 16х + 16 = 16 — х>2; 5х>2 = 16х; х = 16/5. Искомыми квадратами являются 256/25 и 144/25».
Здесь использован тот же прием, что и в задаче 32 книги II. Так как значение m может быть произвольным, то задача может иметь бесконечно много решений.
Все эти решения очень легко найти. На полях страницы, где излагается эта задача, Ферма написал комментарий, который вошел в историю:
