Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 56
Страница книги II «Арифметики» Диофанта издания 1670 года. На этой странице приведена задача 8 и комментарий Ферма.
По-видимому, это указывает на то, что ему действительно удалось доказать частные случаи для n = 3 и n = 4. Доказательство для n = 3 не сохранилось, но Ферма ссылается на него в некоторых письмах. Доказательство для n = 4 сохранилось, и его можно назвать поистине мудрым. В нем впервые представлен метод бесконечного спуска: доказывается, что если существуют три значения х, у, z натуральные и отличные от нуля, которые удовлетворяют уравнению х>4 + у>4 = z>4, то можно найти три других, меньших натуральных числа, отличных от нуля, х', у', z', которые также будут удовлетворять этому уравнению. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к тому, что всякий раз будем получать всё меньшие и меньшие решения, при этом они будут натуральными и отличными от нуля. Но это приводит к противоречию: натуральные числа не могут быть бесконечно малыми. Следовательно, таких решений не существует.
* * *
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ 3
Хотя уравнение х>3 + у>3 = z>3 не имеет целых решений, отличных от нуля, они «почти» есть, так как некоторые значения х, у, z «почти» удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно видеть, что 5>3 + 6>3 = 7>3 — 2 всего на две единицы отличается от равенства, приведенного Ферма. Еще более удивительный случай: 6>3 + 8>3 = 9>3 — 1. Кажется невероятным, что мы подобрались так близко к решению, но тем не менее не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!
Что произойдет, если мы добавим новый член в уравнение Ферма? Удивительно, но в этом случае оно будет иметь целые решения, отличные от нуля! Так, 3>3 + 4>3 + 5>3 = 6>3, 7>3 + 14>3 + 17>3 = 20>3.
В одном из эпизодов сериала «Симпсоны» можно увидеть равенство 1782>12 + 1841>12 = 1922>12.
Неужели Лизе Симпсон удалось решить загадку Ферма? После более тщательного анализа становится понятно, что эти числа «почти» являются решением, так как равенство выполняется с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 3987>12 + 4365>12 = 4472>12 — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака, и, кроме этого, цифры первых разрядов также совпадают. Обнаружить эту неточность с помощью обычного восьмиразрядного калькулятора невозможно.
