Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».
Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:
«Найти x>1, х>2, х>3, х>4 такие, что
х>1>2 + х>2>2 + х>3>2 + х>4>2 + х>1 + х>2 + х>3 + х>4 = n,
где n — данное число».
Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим
х>1>2 + х>2>2 + х>3>2 + х>4>2 + х>1 + х>2 + х>3 + х>4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.
Переупорядочив слагаемые и предположив, что n = 12, имеем
х>1>2 + х>1 + 1/4 + х>2>2 + х>2 + 1/4 + х>3>2 + х>3 + 1/4 + x>4>2 + х>4 + 1/4 = 12 + 1.
Принимая во внимание, что х>2 + х + 1/4 = (х + 1/2)>2, можно записать следующее:
(x>1+ 1/2)>2 + (х>2+ 1/2)>2 + (х>3 + 1/2)>2 + (х>4+ 1/2)>2 = 13.
Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».
Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 4>2 + 3>2 = 5>2. Поделив обе части равенства на 5>2, получим (4/5)>2 + (3/5)>2 = 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 2>2, получим (8/5)>2 + (6/5)>2 = 2>2, то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З>2, получим (12/5)>2 + (9/5)>2 = З>2, то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:
(х>1 + 1/2) = 8/5,
(x>2 + 1/2) = 6/5,
(x>3 + 1/2) = 12/5,
(x>4+ 1/2) = 9/5.
Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.
Загадочное примечание
Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: «Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».
