Еще одно противоречие возникает, когда выясняется, что ограниченные множества могут быть бесконечными, так как в нашем представлении бесконечность не имеет границ.
Как вы увидите далее, элементарная логика, или то, что порой называют интуицией, может обмануть, когда речь идет об актуальной бесконечности. Причина в том, что при рассмотрении некоторых понятий мы не до конца понимаем их и многое принимаем на веру. Трудности, возникающие у студентов-математиков при изучении актуальной бесконечности, сравнимы с трудностями, которые испытывают студенты-физики при изучении квантовой механики. Классический пример из квантовой механики выглядит так. Допустим, у нас есть ящик с двумя отверстиями, в котором находится шар. Если мы будем перемещать ящик произвольным образом, можно ожидать, что шар выпадет из него через одно из двух отверстий. При определенных перемещениях мы даже сможем вычислить вероятность того, что он выпадет через конкретное отверстие. Намного сложнее представить, что шар выпадет через оба отверстия одновременно. Но в квантовой физике такой вариант возможен, хотя он полностью противоречит интуиции. Речь не идет о том, чтобы понять это явление само по себе, так как всем известно, что означает: «шар выпадает через два отверстия сразу». Правильнее было бы сказать «я не верю» вместо «я не понимаю».
Нечто подобное происходит и с актуальной бесконечностью. Когда мы говорим, что крошечный отрезок прямой содержит бесконечное множество точек, мы понимаем, о чем идет речь. Другое дело, верим мы в это или нет.
* * *
«ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК» АРХИМЕДА
Слова для обозначения больших чисел (миллион, миллиард и т. д.) были введены французским математиком Никола Шюке (ок. 1445–1488) в 1484 году. Суффиксом — иллион он обозначал число М = 10>6 (в этой системе обозначений M1 — миллион, М2 — биллион, М3 — триллион и т. д.). В системах счисления древности очень большие числа обычно не рассматривались.
В древнегреческой системе счисления максимально возможным числом было 100 миллионов. Архимед создал знаменитый трактат по арифметике под названием «Исчисление песчинок», в котором, помимо прочего, привел теоретические подсчеты общего числа песчинок на Земле. Его истинной целью было показать, что возможно создать систему счисления для подсчета объектов, которых, как может показаться, бесконечно много, но в действительности это не так.
Система Архимеда была основана на последовательных степенях мириады (
