Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления | страница 11

Деление выполнялось как операция, обратная умножению. В качестве примера приведем те же числа. Попробуем разделить 901 на 17. Результат должен равняться 53. Результатом деления является целое число без знаков после запятой.

В качестве исходных берется знаменатель 17 и 1. Далее аналогично прошлому примеру оба эти числа удваиваются. Результатом будет 34 и 2. Далее это действие повторяется, результат будет равен 68 и 4. Эти действия повторяются до тех пор, пока первое значение не станет больше числителя, который в нашем примере равен 901. Когда первое значение становится больше числителя (901), полученная пара чисел игнорируется. Результат алгоритма приведен ниже.

Следующая пара чисел — 1088 и 64 — отбрасывается, так как первое число больше 901. Далее нужно подобрать такие числа из первого столбца, чтобы их сумма равнялась 901. В нашем примере это 544, 272, 68 и 17 (так как 544 + 272 + 68 + 17 = 901). Сумма соответствующих им чисел из правого столбца и будет результатом деления. Результат равен 32 + 16 + 4 + 1 = 53.

Как и в случае с умножением, разложение числа 901 является единственным. Мы представили 901 как сумму степеней двойки, умноженных на 17, при этом сумма этих степеней двойки равна 53. Результатом деления в этом случае является целое число. В случаях когда это невозможно и результат содержит несколько знаков после запятой, в этом алгоритме учитываются дроби. Однако алгоритм работы с дробями, который использовали египтяне, был намного сложнее современного. За некоторыми исключениями, рассматривались только дроби вида 1/n, то есть дроби, числитель которых равен 1. Любопытно, что причиной этому было ограничение, вызванное способом записи дроби: сначала записывался символ для обозначения дроби, затем — символы, соответствующие числу в знаменателе. Информация о числителе не записывалась, поэтому он мог равняться только единице.

Для обозначения дроби египтяне использовали этот символ:

Рядом с ним записывался знаменатель, в нашем примере это 21:

Так египтяне записывали дробь 1/21.

Мы упомянули, что существовали дроби с числителем, отличным от 1. Речь идет о дроби 2/3, которая обозначалась отдельным символом, и о дроби вида n/(n + 1), обратной дроби (1 + 1/n). Иными словами, 1/(1 + 1/n) = 1/((n + 1)/n) = n/(n + 1).

Важность дробей и действий с ними четко прослеживается в папирусе Ахмеса, который начинается с представления дроби 2/n в виде суммы 1/x + 1/y + … + 1/z для всех нечетных