Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления | страница 10
Построение шестиугольника, вписанного в окружность. Сторона шестиугольника равна радиусу окружности.
В древнеегипетской системе счисления для степеней десяти использовались отдельные символы. Так, существовали особые символы для единиц, десятков, сотен и так далее.
Египетская система счисления, в отличие от вавилонской, не была позиционной. Далее мы продемонстрируем иероглифы, соответствующие наиболее часто используемым числам.
Египетская система счисления была аддитивной, в отличие от нашей системы счисления, которая, подобно вавилонской, является позиционной. В аддитивной системе счисления, например, число 3204 представляется в виде 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1. В виде египетских иероглифов оно записывается так:
С помощью этой системы можно было записывать большие числа. Кроме того, упрощались операции сложения и вычитания. При сложении чисел значения «переносились» в старший разряд, при вычитании — «забирались» из старших разрядов. Умножение сводилось к сложению и вычитанию интересным, но непростым способом.
Рассмотрим, как выполнялось умножение, на примере чисел 17 и 53. Нужно взять пару чисел 1 и 53 и удвоить их. Результатом удвоения будут числа 2 и 106. Повторив эту операцию, получим 4 и 212. Нужно удваивать числа до тех пор, пока первое из них не превысит 17. После этого процесс прекращается, а результат, полученный на последнем шаге, игнорируется. Результатом этих действий в нашем примере будут следующие пары чисел.
Теперь нужно определить, как можно получить 17 путем сложения чисел из первого столбца. Единственный возможный способ получить 17 — сложить 1 и 16. Следовательно, для получения результата умножения нужно сложить значения, записанные справа от 1 и 16, то есть 53 и 848. Их сумма равна 901. Таким образом, результат умножения 17 на 53 равен 901.
Можно заметить, что число 17 рассматривается как сумма степеней двойки, а те, в свою очередь, умножаются на 53. Так, разложение числа 17 выглядит следующим образом: 17 = 2>0 + 2>4. При сложении в качестве слагаемых выбираются значения (2>0 + 2>4)·53, остальные произведения, 2>1·53, 2>2·53 и 2>3·53, не используются, так как не входят в разложение числа 17. Этот алгоритм аналогичен тому, что используется в компьютерах. Результат этого алгоритма верен, поскольку представить любое число в виде суммы степеней двойки можно единственным образом. Следовательно, в нашем примере существует единственное множество значений, сумма которых равна 17. Поэтому значения из правого столбца таблицы, которые мы складываем, также можно выбрать только одним способом. Этот метод умножения известен под названием египетского умножения.
