Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления | страница 9
Для вычисления квадратного корня вавилоняне использовали алгоритмический метод, известный в наше время как метод бисекции. Его авторство приписывается многим философам и математикам, среди которых Архит Тарентский и Герон Александрийский. Этот метод также упоминается как метод Ньютона, однако достоверно известно, что его использовали вавилоняне.
Для данного числа N, из которого мы хотим извлечь квадратный корень, находится два приближенных значения а>1 и Ь>1 квадрат одного из которых больше N, другого — меньше. Далее рассчитывается значение а>2 = (a>1 + b>1)/2, после чего его квадрат сравнивается с N. Если он больше N, то а>2 заменяет прежнее значение, большее N. Если же он меньше N, а>2 заменяет меньшее из значений. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено число, квадрат которого точно или с достаточной точностью равен N.
Вавилоняне также умели решать системы уравнений и уравнения второй степени с вещественными корнями. Эти задачи упоминаются в текстах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. «Протоматематики» Вавилонии также умели решать некоторые уравнения третьей степени. Уравнения вида x>3 = а или х>3 + х>2 = с решались с помощью таблиц. Более сложные уравнения, имевшие вид ах>3 + Ьх>2 = с, сводились к уравнениям первых двух видов.
Анализ вавилонских текстов показывает, что математика была для вавилонян не просто средством решения практических задач. В этом заключается ее фундаментальное отличие от древнеегипетской математики, которая считалась намного более утилитарной. Вавилоняне достигли значительных успехов в арифметике и алгебре, но в отличие от египтян не преуспели в геометрии. Знания геометрии в Вавилонии касались лишь немногих фигур, в частности треугольников и четырехугольников.
* * *
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
Уравнения второй степени вида ах>2+ Ьх + с = 0 обычно решаются с помощью формулы
Эта формула позволяет получить вещественные решения, когда дискриминант положителен или равен нулю, то есть выражение Ь>2 — 4ас больше либо равно нулю.
Для решения уравнений вида ах>3 + Ьх>2 = с вавилоняне умножали уравнение на (а>2/Ь>3) и получали уравнение вида (ах/b)>3 + (ах/b)>2 = са>2/Ь>3 Оно решалось с помощью таблиц для уравнений вида х>3+ х>2 = с, после чего рассчитывалось значение х.
* * *
Однако труды вавилонян, посвященные окружностям, сохранились до наших дней. Именно вавилоняне разделили окружность на шесть частей построением окружностей радиуса, равного радиусу исходной окружности. Каждая из этих частей делилась на 60; таким образом, вся окружность делилась на 360 градусов. Так как использовалась шести десятеричная система, то градусы делились на 60 минут, минуты — на 60 секунд. В качестве приближенного значения
