* * *
RSA-129
В апреле 1994 г. шифр RSA-129 потерпел полное фиаско. Он был построен на числе, содержащем 129 цифр, о чем объявили авторы этой системы шифрования, предложив желающим взломать его. Около 600 математиков с помощью 1600 добровольцев, найденных через интернет, работали над проблемой, и в конце концов им удалось разложить это число на множители. Однако было подсчитано, что если все компьютеры в мире будут работать параллельно, чтобы взломать код из 1024 цифр, им потребуется время, равное возрасту Вселенной (13,7 миллиарда лет). А теперь представьте себе, что в шифровании с открытым ключом используются числа, содержащие 128,1024 и даже 2048 цифр! Чем больше цифр использует система шифрования, тем устойчивее она к атакам, хотя это, конечно, замедляет процесс расшифровки.
* * *
Эпоха высоких технологий
Появление логарифмов позволило значительно сэкономить время при выполнении вычислений. Позже появились логарифмическая линейка и первые вычислительные машины, которые использовали вращающиеся цилиндры для выполнения операций сложения и умножения.
Тем не менее, именно компьютеры смогли делать вычисления, выходящие за пределы возможностей человеческого мозга. Машины могли даже имитировать дедуктивные рассуждения — одно из свойств математического мышления. В этот момент некоторые ученые почувствовали, что компьютеры достигли рубежа, к которому до сих пор ни одна машина не подходила. Был ли это правильный путь?
Экспоненциальный рост информационных технологий привел к изменению системы воззрений, сложившейся на протяжении веков. Начали появляться первые вычислительные алгоритмы, способные доказывать теоремы.
Противники компьютерных доказательств приводят два основных аргумента.
Во-первых, такие доказательства невозможно проверить, так как компьютерная программа содержит этапы, которые никакой математик никогда не сможет проконтролировать. Во-вторых, в процессе возможны ошибки из-за сбоев как в аппаратном, так и в программном обеспечении. В большинстве случаев эти ошибки случайны. Одним из способов предотвращения таких ошибок является использование различных программ на разных машинах (чтобы сравнить полученные результаты).
Но компьютеры могут работать только с кодами из единиц и нулей. Это накладывает некоторые ограничения, так как для чисел, которые не могут быть выражены в двоичной системе счисления, приходится использовать приближенные значения, что ведет к возможным ошибкам. В 1991 г. Дэвид Стаутмайер провел 18 экспериментов, доказав, что вычисления с помощью компьютерных программ могут дать неверные результаты.
