Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 41

е = 2,71882818284590452354…

Это бесконечное десятичное число появляется в математике примерно так же часто, как π. Логарифмы по основанию е называются «натуральными логарифмами».

По вышеприведенному определению, натуральные логарифмы следовало бы обозначать log_>e, однако на калькуляторах имеются две отдельные клавиши: log — для десятичных логарифмов, а In — для логарифмов по основанию е.

Таким образом, Гаусс сформулировал следующую гипотезу: при больших х значения π(x)/x приближаются к 1/ln x, что можно записать как

π(x)/x примерно = 1/ln x (для больших значений х).

Этот результат является оценкой частоты, с которой простые числа встречаются в последовательности натуральных чисел. Предположим, что Р(N) — число простых чисел, меньших N. Формула утверждает, что с ростом N отношение N/P(N) приближается к натуральному логарифму N.

Это самый простой способ применения формулы Гаусса, если мы хотим оценить, сколько существует простых чисел, меньших, чем заданное число. Например, нам задали следующий вопрос: «Сколько простых чисел в первой тысяче натуральных чисел?»

Возьмем калькулятор и выполним следующие действия:

1) наберем число 1000;

2) нажмем клавишу In;

3) нажмем клавишу 1/х;

4) умножим результат на 1000.

Мы получим число 144,76482730108394255037630630554, что позволит нам дать следующий ответ: «В первой тысяче натуральных чисел встречается примерно 145 простых чисел». Это, конечно, лишь приблизительная оценка, так как на самом деле в первой тысяче 168 простых чисел. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что теорема дает все более точный результат при увеличении числа N, и уже с большей уверенностью мы можем сказать, что, например, в первом миллиарде 5,1 % натуральных чисел являются простыми.

Теперь мы можем расшифровать, что именно Гаусс имел в виду, когда оставил заметку в своей записной книжке:

«Простые числа, меньшие 

«Простые числа, меньшие а» — то же самое, что и π(a);

«lа» в современных терминах записывается как Ina

* * *