Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности | страница 31
Якоб показал, что ряд сходится, и ему даже удалось доказать, что сумма ряда меньше или равна двум, но он не смог найти точное значение. Он так увлекся этой проблемой, что сказал: «Велика будет наша благодарность, если кто-нибудь найдет и сообщит нам о том, что до сих пор избегало нашего внимания». Эта проблема известна как «базельская задача», потому что Якоб заведовал кафедрой математики в университете швейцарского города Базеля, и именно там он произнес свои знаменитые слова.
Многие великие математики, в том числе Менголи и Лейбниц, не смогли решить эту задачу, не говоря уже о совместных усилиях братьев Бернулли. И лишь спустя 30 лет решение было найдено «волшебником» Эйлером. Результат был действительно впечатляющим:
Эйлер писал об этом результате так:
«…Я сейчас обнаружил вопреки всем ожиданиям элегантное выражение для суммы ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, которое имеет отношение к квадратуре круга… Я обнаружил, что сумма этого ряда, умноженная на 6, равна квадрату длины окружности, диаметр которой — единица».
К сожалению, Якоб умер к тому времени, когда Эйлер опубликовал свои результаты. «Эх, если бы мой брат был жив!» — воскликнул Иоганн.
«Волшебником» Эйлера называли из-за совершенно магических методов, которые он использовал в доказательствах. На самом деле доказать этот результат совсем не сложно, но такой подход требует некоторых знаний высшей математики и показывает смелость Эйлера, который рассмотрел этот ряд в качестве полиномиальной функции, а затем связал его с разложением в ряд функции синуса. Отсюда и появилось число π, которое является одним из нулей синуса.
Иоганн Бернулли был учителем Эйлера и одним из лучших математиков своего времени.
* * *
Гармонический ряд расходится, и это означает, что сумма его членов бесконечна, но расходится он чрезвычайно медленно по сравнению с рядом вида
Работая с гармоническим рядом, Эйлер вывел функцию, вошедшую в историю как одна из важнейших функций математики: «дзета-функция Эйлера», которая в настоящее время несколько несправедливо называется «дзета-функцией Римана».
Для ее обозначения Эйлер использовал греческую букву ζ (дзета):
Если взять х = 1, то мы получим уже известный нам гармонический ряд
не будет бесконечной, так как здесь содержатся только некоторые члены гармонического ряда, а именно дроби с квадратами. Но найти сумму этого ряда было практически невозможно, используя знания того времени. Тем не менее Эйлеру удалось блестяще доказать следующее равенство:
