Конечно, такой успех не дается даром: приходится изобретать новые понятия, отражающие суть дела. Ньютон ввел три таких понятия: флюксию (производную), флюенту (интеграл) и степенной ряд. Их хватило для создания математического анализа и первой научной модели физического мира, включающей механику и астрономию. laycc тоже ввел три новых понятия: векторное пространство, поле и кольцо. Из них выросла новая алгебра, подчинившая себе греческую арифметику и созданную Ньютоном теорию числовых функций. Оставалось еще подчинить алгебре логику, созданную Аристотелем: тогда можно будет с помощью расчетов доказывать выводимость или невыводимость любых научных утверждении из данного набора аксиом! Например, выводится ли теорема Ферма из аксиом арифметики, или постулат Евклида о параллельных прямых-из прочих аксиом планиметрии?
Эту дерзкую мечту Гаусс не успел осуществить – хотя продвинулся он далеко и угадал возможность существования экзотических (некоммутативных) алгебр. Построить первую неевклидову геометрию сумел только дерзкий россиянин Николай Лобачевский, а первую некоммутативную алгебру (Теорию Групп) – француз Эварист Галуа. И лишь много позже смерти Гаусса – в 1872 году – юный немец Феликс Кляйн догадался, что разнообразие возможных геометрий можно привести во взаимно-однозначное соответствие с разнообразием возможных алгебр. Попросту говоря, всякая геометрия определяется своей группой симметрий – тогда как общая алгебра изучает все возможные группы и их свойства.
Но такое понимание геометрии и алгебры пришло гораздо позже, а штурм теоремы Ферма возобновился еще при жизни Iaycca. Сам он пренебрег теоремой Ферма из принципа: не царское это дело – решать отдельные задачи, которые не вписываются в яркую научную теорию! Но ученики Гаусса, вооруженные его новой алгеброй и классическим анализом Ньютона и Эйлера, рассуждали иначе. Сначала Петер Дирихле доказал теорему Ферма для степени 7, используя кольцо целых комплексных чисел, порожденных корнями этой степени из единицы. Потом Эрнст Куммер распространил метод Дирихле на ВСЕ простые степени (!) – так ему сгоряча показалось, и он восторжествовал. Но вскоре пришло отрезвление: доказательство проходит безупречно, только если всякий элемент кольца однозначно разлагается на простые множители! Для обычных целых чисел этот факт был известен еше Евклиду, но только Гаусс дал его строгое доказательство- А как обстоит делос целыми комплексными числами?
