Квантовая механика II | страница 4

Кроме того, мы хотим еще предположить, что когда электрон находится близ одного из атомов, то имеется некоторая ампли­туда того, что он просочится к тому атому, что слева, или к тому, что справа. Возьмем простейший случай, когда счи­тается, что он может просочиться только к ближайшим соседям, а к следующему соседу он сможет дойти в два приема. Примем, что амплитуды того, что электрон перепрыгнет от одного атома к соседнему, равны iA/h (за единицу времени).

Изменим на время обозначения, и амплитуду <n|j>, свя­занную с n-м атомом, обозначим через С_>n. Тогда (11.1) будет иметь вид

Если бы вы знали каждую из амплитуд С_>nв данный момент, то, взяв квадраты их модулей, можно было бы получить вероят­ность того, что вы увидите электрон, взглянув в этот момент на атом п.

Но что сталось бы чуть позже? По аналогии с изученными нами системами с двумя состояниями мы предлагаем составить гамильтоновы уравнения для этой системы в виде уравнений такого типа:

Первый справа коэффициент Е_>0физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим. (Совершенно неважно, что мы назовем , Е_>0; мы неоднократно видели, что реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из (n+1)-й ямки просочится в n-ю ямку, а последний член означает ампли­туду просачивания из (n-1)-й ямки. Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от t).

Для полного описания поведения любого состояния |j> надо для каждой из амплитуд С_>nиметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состоя­ний имеется бесконечно много, атомы тянутся без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание на то, что случается на концах.) А если ко­личество N наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна! Мы напишем только часть ее:

§ 2. Состояния определенной энергии

Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определен­ной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде

Комплексное число а_>nговорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут об­наружены возле