Физика сплошных сред | страница 7

эквивалентным точкам. Два вектора 1 и 2 суть основные векторы решетки на фиг. 30.1. Два век­тора а и b на фиг. 30.7, а — основные векторы для изображен­ного там узора. Мы могли бы, конечно, с тем же успехом заме­нить а на -а или b на -b. Раз а и b одинаковы по величине и перпендикулярны друг другу, то вращение на 90° переводит а в b и b в а и снова дает ту же решетку.

Итак, мы видим, что существуют решетки, обладающие «четырехсторонней» симметрией. А раньше мы описали плотную упаковку, основанную на шестиугольнике и обладающую шестисторонней симметрией. Вращение набора кружков на фиг. 30.5, а на угол 60° вокруг центра любого шарика пере­водит рисунок сам в себя.

Какие виды вращательной симметрии существуют еще? Может ли быть, например, вращательная симметрия пятого или восьмого порядка? Легко понять, что они невозможны. Единственная симметрия, связанная с фигурой, имеющей более четырех сторон, есть симметрия шестого порядка. Прежде всего покажем, что симметрия более чем шестого порядка невозмож­на. Попытаемся вообразить решетку с двумя равными основ­ными векторами, образующими угол менее 60° (фиг. 30.8, а).

Фиг. 30.8. Симметрия вра­щения выше шестого порядка невозможна (а); симметрия вращения пятого порядка невозможна (б).

Мы должны предположить, что точки В и С эквивалентны А и что а и b — наиболее короткие векторы, проведенные из А до эквивалентных соседей. Но это, безусловно, неверно, потому что расстояние между В и С короче, чем от любого из них до А. Должна существовать соседняя точка D, эквивалентная А, ко­торая ближе к А, чем к В или С. Мы должны были бы выбрать b' в качестве одного из основных векторов. Поэтому угол между основными векторами должен быть равен 60° или еще больше. Октагональная симметрия невозможна.

А как быть с пятикратной симметрией? Если мы предполо­жим, что основные векторы а и b имеют одинаковую длину и образуют угол 2p/5=72° (фиг. 30.8, б), то должна существовать эквивалентная точка решетки в D под 72° к линии АС. Но век­тор b' от Е к D тогда короче b, и b уже не основной вектор. Пятикратной симметрии быть не может. Единственные воз­можности, не приводящие к подобным трудностям, это q=60, 90 или 120°. Очевидно, допустимы также нуль и 180°. Можно еще так выразить полученный нами результат: рисунок может не меняться при повороте на полный оборот (ничего не изме­няется), полоборота, одну треть, одну четверть или одну ше­стую оборота. И этим исчерпываются все возможные вращатель­ные симметрии на плоскости — всего их пять. Если 8=2p/n, то мы говорим об «n-кратной» симметрии, или симметрии n-го порядка. Мы говорим, что узор, для которого nравно 4 или 6, обладает более «высокой симметрией», чем узор с n