Физика сплошных сред | страница 8

Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каж­дого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка боль­ше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но эле­ментарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунк­тирной линии R—R воспроизводит рисунок без изменений. Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если отразить рисунок относительно линии y—y, а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится пер­воначальный рисунок. Линия у—у называется линией сколь­жения.

Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция сим­метрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вра­щению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда лю­бая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат R (например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку —R.

Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией.

а — рисунок меняется; б — рисунок не меняется при преобразовании R ® -R;

в — в трех измерениях рисунок не симметричен после операции инверсии;

г — рисунок симметричен в трех измерениях.

Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На дву­мерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точ­ке А эквивалентна повороту на 180° вокруг той же самой точки. Предположим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным, вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочки», смотрящие из страницы кверху. В результате ин­версии в трехмерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы обозначим острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем образовать трехмерный рисунок (фиг. 30.9, в), который