Физика сплошных сред | страница 25

Фиг. 31.8. Разложение на компо­ненты силы F_>n, действующей на грани N (с единичной нормалью n).

(Это, конечно, частный случай, но он до­статочно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напря­жения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее пол­ная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на гра­ни, параллельные осям координат, известны нам непосред­ственно из тензора S_>ij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выра­зить через S_>ij.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­нальны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорцио­нальны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

DF_>x>2=S_>xyDхDz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямо­угольную грань, равна

DF_>x>1=S_>х>xDz.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единич­ный вектор нормали к грани N, а через F_>n — действующую на нее силу, тогда получим

DF_>xn=S_>xxDyDz+S_>xyDxDz.

Составляющая напряжения по оси х (S_>xn), действующего в этой плоскости, равна силе DF_>xn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx^>2+Dy^>2), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx^>2+Dy^>2) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как п_>у, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx^>2+Dy^>2) равно sinq=n_>х. Поэтому мы можем написать

S_>xn=S_>xxn_>x+S_>xyn_>y

рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим