Физика сплошных сред | страница 24

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF_>1, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: DF_>x>1, DF_>y>1, DF_>z>1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF_>1, дейст­вующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: DF_>x>1, DF_>у>1 и DF_>z>1.

Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем S_>xx, S_>yxи S_>zx. Например,

S_>yx=DF_>у>1/DyDz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угод­но, площадь DyDz можно записать как Dа_>х, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

S_>yx=DF_>у>1/Dа_>х

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила DF_>2.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы опре­деляем три компоненты на­пряжения S_>xy, S_>yy, S_>zyкак силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­кулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый раз­рез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты S_>xz, S_>yzи S_>zz. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточ­но, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состоя­ние, и что S_>ij-—действительно тензор. Предположим, что мы хо­тим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, ис­ходя из S_>ij? Можно, и это делается следующим образом. Вооб­разите маленькую призму, одна грань