Кинетика. Теплота. Звук | страница 21

F=(kTd/dx)lnn (40.2)

Теперь заметим, что —Fdx — это работа, которую надо совершить для переноса молекулы из х в х+dx, и если сила F произошла из потенциала, т. е. работу можно описывать с помощью потенциальной энергии, то нужную нам величину можно считать изменением потенциальной энергии (п. э.). Отрицательное изменение потенциальной энергии — это про­изведенная работа Fdx, так что d(lnn)=-d(п. э.)/kT, или после интегрирования

n=(постоянная) е^>-п.э>/>kT. (40.3)

Таким образом, то, что нам удалось заметить в частном слу­чае, справедливо вообще. (А что если F не происходит из по­тенциала? Тогда (40.2) просто-напросто не имеет решения. В этом случае, после того как какой-нибудь атом опишет замк­нутый путь, вдоль которого полная работа не равна нулю, энер­гия либо прибавится, либо убавится и равновесие никогда не установится. Температурное равновесие невозможно, если внешние силы, действующие на газ, не консервативны.) Урав­нение (40.3) известно под названием закона Болъцмана. Это еще один из принципов статистической механики: вероятность найти молекулу в заданной точке заданной пространственной конфигурации изменяется экспоненциально, причем показа­тель экспоненты состоит из потенциальной энергии в заданной пространственной конфигурации, взятой с обратным знаком и деленной на kT.

Таким образом, мы знаем кое-что о распределении молекул. Предположим, что в нашем распоряжении имеется плавающий в жидкости положительный ион; он притягивает окружающие его отрицательные ионы. Много ли их окажется на разных рас­стояниях от положительного иона? Если нам известно, как зависит от расстояния потенциальная энергия, то отношение чисел ионов на разных расстояниях определяется полученным нами законом. Этому закону можно найти еще много других применений.

§ 3. Испарение жидкости

В менее элементарной статистической механике пытаются решить следующую важную задачу. Предположим, что имеется совокупность притягивающихся друг к другу молекул и сила между любыми двумя молекулами, скажем i-й и j-й, зависит только от расстояния между ними r_>ijи может быть представ­лена в виде производной от потенциальной энергии V(r_>ij). На фиг. 40.3 показан возможный вид такой функции.

Фиг. 40. 3. Кривая потенциаль­ной энергии для двух молекул.