Таким образом, мы убеждаемся, что одна из важнейших и известнейших математических теорем основана не на доказательстве, а на предрассудке — на привычном, но ложном убеждении большинства математиков в том, что эквивалентные преобразования якобы «ничего не меняют». Я опрашивал многих — и выпускников университетов, и их преподавателей: «как по-вашему — верна ли теорема о непрерывной зависимости для всех систем уравнений?» Все дружно отвечали: «да, верна. Верна потому, что для систем из n уравнений первого порядка в учебниках дано доказательство, а остальные системы приводятся к ним путем эквивалентных преобразований, которые «ничего не меняют»».
Мы убеждаемся, что предрассудки существуют и в математике, и предрассудки далеко не безобидные, поскольку они оказываются потом причиной многих техногенных катастроф с гибелью людей. И когда в книгах [1], [2], [3] опровергаются некоторые привычные положения и методики, то это не означает, что опровергаются какие-либо доказанные теоремы. Нет, они не опровергаются, а просто показывается необоснованность ставших привычными предрассудков. И в этом нет ничего страшного.
Наоборот, устранение предрассудков очень полезно для науки России для ее граждан, поскольку позволит избавиться от некоторых источников техногенных катастроф. Вероятность аварий и катастроф станет меньше.
А теперь идет самое интересное: посмотрите внимательно — как, каким образом формулируется теорема о непрерывной зависимости решений от параметров во всех перечисленных мною учебниках — от В. В. Степанова до В. И. Арнольда. Ни в одном из них не сказано: «теорема верна для всех систем уравнений, поскольку для систем из n уравнений первого порядка доказательство приведено, а остальные системы приводятся к ней эквивалентными преобразованиями». Это положение не высказано, оно «домысливается» преподавателями, а за ними — и студентами, слушающими лекции. Почему избран такой странный стиль изложения с необходимостью «домысливания»? Здесь можно высказать только догадку, или — как говорят «детективы» — версию. Вот эта версия: уважаемые авторы учебников понимали желательность дать доказательство этой важнейшей теоремы для всех систем — а не только состоящих из n уравнений первого порядка. Они пытались найти такое доказательство, но у них ничего не получилось. Теперь мы знаем, что получиться и не могло, поскольку в общем случае теорема (как показано в [2]) — не верна. Тогда они предпочли формулировку с необходимостью «домысливания», рассуждая (возможно) следующим образом: если теорема в дальнейшем будет доказана для всех систем, то «домысливание» окажется правильным и все будет в порядке. Если же теорема в общем виде будет опровергнута, то мы, авторы учебников, чисты: у нас сформулировано лишь верное утверждение о системах, состоящих из
