1 + є , где ε — малое число и ε < 0 , то в решении присутствуют только экспоненциально убывающие члены, если же малое в > 0, то в решении появляются стремительно растущие члены вида (20). Непрерывной зависимости решений от параметра
т у системы (21) нет. При
т = 1 эта зависимость терпит разрыв. Отметим, что подобных систем дифференциальных уравнений, не имеющих непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров, довольно много. Примеры приведены в книге [2].
Из этих примеров следует, что одна из важнейших математических теорем не верна. Может ли такое быть? Многие математики заявляли — нет, такого быть не может! Теорема приводится во многих авторитетных учебниках, не могут все они ошибаться.
Да, теорема о непрерывной зависимости решений от параметров приведена — и причем с доказательством — во многих университетских учебниках. Примеры:
1. В учебнике для университетов: Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., ГИТТЛ, 1953, 468 с., эта теорема рассмотрена на стр. 298—307.
2. В учебнике: Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Высшая школа, 1967, 564 с., теорема рассмотрена на стр. 259—267.
3. В учебнике: Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1975, 239 с., теорема рассмотрена на стр. 186—204.
4. В учебнике: Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения, СПб., Специальная литература, 1996, 371 с., теорема рассмотрена на стр. 313—316.
Но — обратите особое внимание — во всех учебниках она доказана лишь для двух частных случаев: для системы из n уравнений первого порядка и для одного уравнения n -ого порядка. Для всех других многочисленных систем — как, например, для системы (21), которая состоит из уравнения третьего порядка для переменной X>1 и уравнения первого порядка для х>2 — теорема не доказана. Да, почти любую систему, состоящую из уравнений различных порядков, можно путем эквивалентных преобразований свести к системе из n уравнений первого порядка, для которой теорема доказана. Но для того, чтобы из этого вытекала верность теоремы для всех систем, необходимо доказать, что эквивалентные преобразования не меняют никаких свойств решений. А этого никто и никогда не доказывал (и не мог доказать — в книгах [1], [2] , [3] приводились все новые и новые примеры того, как эквивалентные преобразования меняли все новые и новые свойства решений — надо лишь внимательно исследовать; ищите и найдете).
