Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив | страница 30

тх_>1 = -2х_>1 +х_>2 + х_>3                                                                         (10)

Если момент сопротивления используемого механизма является стационарным случайным процессом со спектром

то для простейшего случая α = 1 переменная х_>3 и ее производная х_>4 будут удовлетворять уравнениям:

Система трех дифференциальных уравнений (10)—(12) является математической моделью электропривода как объекта управления. Колебания частоты вращения можно уменьшить за счет регулятора с обратной связью. Пусть в этом регуляторе управляющее воздействие х_>2 формируется в функции от остальных переменных по закону:

х_>2 = -X_>1 - 2х_>3 —х_>4                                                                        (13)

Тогда система четырех уравнений (10), (12), (13) является математической моделью замкнутой системы управления. Уравнения (10)—(12) типичны для многих электроприводов, а формируя управляющее воздействие в виде (13) мы следуем известным рекомендациям А. М. Летова. Для удобства дальнейших расчетов мы округлили параметры электропривода до целых чисел, но в целом система уравнений (10), (12), (13) отражает вполне типичную практическую ситуацию.

Исследуем устойчивость этой системы и влияние на устойчивость изменений параметра m -механической постоянной времени электропривода. Если текущее время t, входящее в уравнения (10), (12), (13), измерять в долях механической постоянной времени, то номинальное значение параметра m будет равно единице, но в ходе эксплуатации электропривода возможен, разумеется «дрейф» этого параметра и отклонение его от значения m = 1.

Устойчивость замкнутой системы зависит от корней характеристического полинома (т. е. от «собственных значений» системы), а характеристический полином системы (10), (12), (13) равен легко вычисляемому определителю:

Мы убеждаемся, что характеристический полином замкнутой системы имеет три корня (три «собственных значения»):

(один из корней — кратный) и эти корни отрицательны для всех т в диапазоне

Таким образом, замкнутая система устойчива и сохраняет устойчивость не только при малых, но и при больших отклонениях параметра т от номинального значения т = 1.

Решения системы уравнений (10), (12), (13) имеют вид