Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив | страница 30



>c от их номинальных значений, а коэффициент к примем равным к = 2. Получим уравнение электропривода «в отклонениях»:

тх>1 = -2х>1>2 + х>3                                                                         (10)

Если момент сопротивления используемого механизма является стационарным случайным процессом со спектром

  

                                                               (11)

то для простейшего случая α = 1 переменная х>3 и ее производная х>4 будут удовлетворять уравнениям:

  

                                                                  (12)

Система трех дифференциальных уравнений (10)—(12) является математической моделью электропривода как объекта управления. Колебания частоты вращения можно уменьшить за счет регулятора с обратной связью. Пусть в этом регуляторе управляющее воздействие х>2 формируется в функции от остальных переменных по закону:

х>2 = -X>1 - 2х>3 —х>4                                                                        (13)

Тогда система четырех уравнений (10), (12), (13) является математической моделью замкнутой системы управления. Уравнения (10)—(12) типичны для многих электроприводов, а формируя управляющее воздействие в виде (13) мы следуем известным рекомендациям А. М. Летова. Для удобства дальнейших расчетов мы округлили параметры электропривода до целых чисел, но в целом система уравнений (10), (12), (13) отражает вполне типичную практическую ситуацию.

Исследуем устойчивость этой системы и влияние на устойчивость изменений параметра m -механической постоянной времени электропривода. Если текущее время t, входящее в уравнения (10), (12), (13), измерять в долях механической постоянной времени, то номинальное значение параметра m будет равно единице, но в ходе эксплуатации электропривода возможен, разумеется «дрейф» этого параметра и отклонение его от значения m = 1.

Устойчивость замкнутой системы зависит от корней характеристического полинома (т. е. от «собственных значений» системы), а характеристический полином системы (10), (12), (13) равен легко вычисляемому определителю:


  

 
    (14)

Мы убеждаемся, что характеристический полином замкнутой системы имеет три корня (три «собственных значения»):

  

(один из корней — кратный) и эти корни отрицательны для всех т в диапазоне

  

Таким образом, замкнутая система устойчива и сохраняет устойчивость не только при малых, но и при больших отклонениях параметра т от номинального значения т = 1.

Решения системы уравнений (10), (12), (13) имеют вид