Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив | страница 31

где C_>1, C_>2, C_>3 — постоянные интегрирования. Для х_>2, х_>3, х_>4 формулы аналогичны. Мы убеждаемся, что отклонение х быстро затухает с течением времени. Система устойчива для любых т> 0 .

Однако момент сопротивления х_>3 и особенно его производную х_>4 очень трудно непосредственно измерить и ввести в канал обратной связи. Поэтому целесообразно исключить из уравнения объекта управления и регулятора переменные х и х путем эквивалентных преобразований. Проделав их, придем к уравнениям (где

является символом оператора дифференцирования):

[mD^>3 + (2 + 2 m)D^>2 + (4 + m)D + 2]x_>1= (D +1)^>2 x_>2                                                              (16)

[mD^>2 + (2 + 2m)D + 5]x_>1 = (D + 1)x_>2                                                                       (17)

Уравнение (16) является уравнением объекта управления, уравнение (17) — уравнением регулятора, который на этот раз для формирования управляющего воздействия х_>2 использует легко доступную для непосредственного измерения переменную х_>1.

Для исследования устойчивости системы (16)—(17) достаточно найти корни ее характеристического полинома.

И вот здесь исследователей подстерегала трудность, которая надолго задержала правильный ответ о причинах техногенных катастроф, связанных с «аналитически сконструированными» регуляторами, и укоротила жизнь А. М. Летова: если вычислять характеристический полином системы (16)—(17) по общим математическим правилам как определитель:

то он, как легко проверить, будет равен определителю (14) и мы снова должны будем сделать вывод о том, что замкнутая система устойчива и сохраняет устойчивость при «дрейфе» параметра m .

Однако этот вывод будет ошибочен! Дело в том, что объект управления (электропривод) и регулятор — это разные (хотя и расположенные рядом) устройства, поэтому «дрейф» их параметров может идти независимо друг от друга, образуя самые причудливые комбинации. Рассмотрим простейший (но возможный) случай: параметры регулятора остались равными номинальным значениям (соответствующим т — 1), а в объекте управления механическая постоянная времени немного изменилась. Для анализа устойчивости этого случая надо вычислить определитель:

Пусть m = 1 + ε, где  ε  - малое число и можно пренебречь членами с ε_>2, ε_>3 и др. Тогда сразу видно, что при ε > 0 замкнутая система неустойчива, в решении системы, кроме членов, отраженных формулой (15), появляется очень быстро растущий четвертый член вида