Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление | страница 30
Последовательно выполняемые операции растяжения и складывания, характерные для подковы Смэйла, — верный признак хаоса. Следовательно, эти же операции вы встретите во многих хаотических отображениях. В качестве примера можно привести «отображение пекаря», названное так за сходство с операциями, выполняемыми при замешивании теста, или «отображение кота Арнольда», определенное В. И. Арнольдом (о нем мы расскажем позже), которое заключается в последовательном растяжении и складывании изображения головы кота. Но мы не будем растягивать и складывать голову кота, вместо этого используем более привлекательное изображение — фотографию модели Лины Седерберг, мисс Ноябрь журнала «Плейбой» 1972 года. С 1970-х годов фрагмент ее фотографии используется в качестве тестового изображения в алгоритмах сжатия изображений и, по сути, является стандартом в науке и технике. (И кто-то еще осмеливается заявлять, что математики — скучные люди!) Между прочим, номер «Плейбоя» с этой фотографией стал самым продаваемым за всю историю журнала.
Если мы несколько раз применим отображение кота Арнольда к этой фотографии, то есть будем последовательно растягивать и складывать ее определенным образом, то заметим, что уже через несколько итераций лицо модели станет неразличимым. Но после определенного числа итераций (а именно 192) лицо модели можно будет увидеть снова. Точнее говоря, можно будет увидеть очень похожее лицо — траектории динамических систем могут совпадать друг с другом, только если являются периодическими, а мы рассматриваем хаотическую орбиту. Тем не менее лицо Лины будет появляться и исчезать бесконечное число раз. Так проявляет себя хаос.
Отображение кота Арнольда на примере фотографии Лины Седерберг. Результатом многократного растяжения и складывания изображения (верхние ряды) будет однородное поле (центральные ряды). Однако на каком-то этапе некоторые точки будут располагаться вблизи исходных положений, и исходное изображение внезапно появится вновь (нижний ряд).
В худшем (или лучшем — с какой стороны посмотреть) случае динамическая система будет хаотической. В этом случае траектории, расположенные близко друг к другу, будут быстро расходиться по мере того, как они будут растягиваться, сжиматься и складываться по мере приближения к аттрактору. Эти преобразования определяют очень странное и сложное поведение, которое следует из теоремы Пуанкаре о возвращении.
В своем труде о новых методах небесной механики ученый сформулировал удивительную теорему: «Для данных уравнений определенной формы и произвольного частного решения любого из этих уравнений всегда можно найти периодическое решение — его период может быть очень большим — такое, что разница между этими решениями будет сколь угодно малой». Портрет Лины демонстрирует теорему Пуанкаре о возвращении: если повторно применять одно и то же преобразование к системе, которая не может выйти за определенные границы, она бесконечное число раз будет возвращаться в состояние, близкое к оригиналу. Иными словами, рано или поздно все вернется на круги своя. Существование периодического решения означает, что если мы проткнули колесо велосипеда, то достаточно подождать, когда оно наполнится воздухом само по себе. Через достаточно долгое время колесо вновь наполнится воздухом — так гласит теорема Пуанкаре. Единственная проблема в том, что ждать придется дольше, чем существует Вселенная.
