Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление | страница 19

Встанем у двери и сосчитаем, сколько нитей пересекает дверной порог. Если число нитей нечетно, наш незнакомец еще не вернулся, если же число нитей четно, он уже дома — это логично. Следовательно, если человек вернулся, то через дверной порог — наше сечение Пуанкаре — будет проходить четное число нитей. Выходит, изучение нитей (траекторий), пересекающих поверхность подобно тому, как нити пересекают порог (сечение Пуанкаре), дает важные результаты.

Сечение Пуанкаре S. Если бы х и Р(х) совпадали, траектория была бы замкнутой кривой и представляла собой периодическое решение.

Пуанкаре указывал, что периодичность решения можно определить с помощью сечения Пуанкаре, если показать, что кривая в конечном итоге возвращается в ту же исходную точку, в которой пересекла сечение. Следовательно, сечение Пуанкаре фазового пространства отражает важнейшие аспекты решений дифференциального уравнения (в том числе их устойчивость).

По сути, Пуанкаре считал, что в каждом сечении будет наблюдаться типичная и не слишком сложная двумерная динамика, при которой траектории могут пересекаться только в особых точках. Однако он с ужасом обнаружил, что сепаратрисы седловых точек (две траектории, которые сталкиваются в гомоклинических точках) пересекаются, но не совпадают, а представляют собой две различные кривые, которые пересекаются снова и снова, образуя своеобразную решетку с бесконечным множеством точек пересечения. Оказалось, что трехмерная динамика, проекции которой содержатся в каждом сечении, невероятно сложна.

Ошибка Пуанкаре: он считал, что нестабильная сепаратриса (та, что удаляется от седловой точки) и стабильная (та, что приближается к седловой точке) совпадают.

Таким образом, суть задачи такова: локальная структура седловой точки проста, поскольку линейна, а глобальная структура необязательно будет простой, поскольку она нелинейна. Более того, глобальная структура может быть невероятно сложной — именно поэтому возникают хаотические движения. В примере с задачей трех тел обе сепаратрисы переплетаются снова и снова бесконечное число раз. Эта гомоклиническая сеть — великое открытие Пуанкаре, фигура настолько сложная, что сам автор не осмелился ни изобразить ее, ни подробно описать. Эта сеть и вызывает хаос, а также приводит к тому, что систему нельзя описать посредством аналитических интегралов.

Гомоклиническая сеть: р — седло, Ь_>0, h_>1, h_>2…. — бесконечное множество гомоклинических точек, в которых пересекаются две сепаратрисы.