Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление | страница 15

Пуанкаре разделил особые точки на четыре класса: центр, фокус, узел, седло. Названия классов заимствованы из гидродинамики, так как траектории (орбиты) на фазовой плоскости можно сравнить с потоком жидкости, распространяющимся по ней. Центры — это особые точки, окруженные периодическими орбитами; фокусы — особые точки, которые притягивают близлежащие траектории (они подобны водостокам фазовой плоскости); узлы, напротив, являются неустойчивыми, так как отталкивают близлежащие траектории (продолжая аналогию с гидродинамикой, такие точки можно сравнить с кранами, из которых льется вода на фазовую плоскость); наконец, седла — особые точки, которые являются устойчивыми и неустойчивыми одновременно. Седла — это точки, в которых словно бы сталкиваются два потока воды. Траектории, которые пересекаются точно в седле, называются сепаратрисами.

Седла Пуанкаре называл гомоклиническими точками, сепаратрисы — двоякоасимптотическими. В конце главы вы узнаете, почему он выбрал именно такие названия.

Слева — центр, справа — фокус.

Слева — узел, справа — седло идее сепаратрисы, которые в этом случае представляют собой две прямые, пересекающиеся в центральной точке.

Позднее Пуанкаре сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пуанкаре — Бендиксона (в честь шведского математика, закончившего ее доказательство). Согласно этой теореме, наряду с предельными циклами (замкнутыми кривыми, притягивающими соседние траектории) указанные выше разновидности особых точек являются единственно возможными на плоскости. Так как в двух измерениях существуют только центры, фокусы, узлы, седла и предельные циклы, то можно сказать, что количество траекторий, которые описывают решения дифференциальных уравнений, невелико: они могут описывать витки вокруг центра или предельного цикла, удаляться от узла, проходить вблизи седла или приближаться к фокусу. Все возможные варианты траектории можно пересчитать по пальцам одной руки.

Предельный цикл осциллятора Ван дер Поля. Он представляет собой замкнутую кривую (на рисунке — широкая линия), которая притягивает к себе все ближайшие траектории.

В 1881 году, за четыре года до проведения конкурса, Пуанкаре уже понимал, что созданную им новую качественную теорию можно использовать для решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Не напрасно лейтмотивом статьи «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» стали вопросы: «Описывает ли движущаяся точка замкнутую кривую? Всегда ли эта кривая будет находиться в определенной части плоскости? Иными словами, если использовать астрономические термины, является ли орбита устойчивой?».