Концептуальные проблемы, подобные этой, ставили в тупик лучших математиков в течение следующих девятнадцати веков — до середины XVII столетия, когда Джеймс Грегори, Исаак Барроу, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц обосновали то, что сейчас называется фундаментальной теоремой интегрального исчисления70. Она мощно сковала два типа изменений, которые изучаются в исчислениях: накапливаемые изменения, представленные интегралами, и локальные изменения, представленные производными (см. главу 17). Выявив эти связи, основная теорема значительно расширила вселенную интегралов и уменьшила утомительную работу по их вычислению. В настоящее время ее можно запрограммировать на компьютере. С ее помощью даже задача о пересечении двух цилиндров, которая относилась когда-то к уровню мирового класса, становится общедоступной.
Только простейшие виды изменений могли быть проанализированы до появления основной теоремы интегрального исчисления. Когда что-то меняется постепенно, с постоянной скоростью, алгебра прекрасно работает. Это из области «расстояние равно скорости, умноженной на время». Например, автомобиль движется с неизменной скоростью 60 миль в час, при этом он проедет 60 миль за первый час и 120 миль к концу второго часа.
А как насчет изменений, которые происходят при изменении скорости?
Все вокруг нас постоянно меняется: увеличение скорости упавшего с высотного здания пенни, быстрая смена потоков, эллиптические орбиты планет, наши суточные биоритмы. Только исчисление может справиться с накапливаемым эффектом от неоднородных изменений, подобных этим.
На протяжении почти двух тысячелетий после Архимеда для прогнозирования эффекта от постоянных изменений существовал только один метод — последовательное складывание различных ломтиков. Предполагалось, что вы считаете скорость изменения в пределах каждого ломтика постоянной, затем вызываете аналог «расстояние равно скорости, умноженной на время», чтобы медленно двигаться до конца ломтика, и повторяете это до тех пор, пока все кусочки не будут рассмотрены. В большинстве случаев выполнить это невозможно. Бесконечные суммы слишком сложно вычислять.
Фундаментальная теорема интегрального исчисления позволила решить многие из ранее нерешаемых задач, упростила вычисление интегралов, по крайней мере для элементарных функций (суммы и произведения степеней, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции), которыми описываются многие явления в природе.
