Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мирe | страница 60
Исторически интеграл сначала появился в геометрии для нахождения площадей криволинейных фигур. Площадь круга можно представить как сумму множества тонких ломтиков пирога. В пределе имеем бесконечное множество кусочков, каждый из которых бесконечно тонкий. Эти кусочки затем можно ловко перестроить в прямоугольник, площадь которого нетрудно найти. Это типичный пример использования интеграла. Идея интегрирования заключается в том, чтобы взять что-то сложное, нарезать его на кусочки и перетасовать так, чтобы было легко складывать.
В трехмерном обобщении этого метода Архимед (а около 400 года до н. э. и Евдокс) рассчитывал объемы различных фигур путем их представления в виде стопки множества пластин или дисков, подобной порезанной на тонкие кусочки колбасе. Посчитав объемы различных ломтиков и гениально проинтегрировав их, Архимед и Евдокс получали полный объем исходной фигуры.
Сегодня будущим математикам и ученым по-прежнему даются в качестве упражнений классические геометрические задачи, требующие решения с помощью интегралов. Это одни из самых сложных в процессе обучения упражнений, и многие студенты ненавидят их. Но нет более верного способа отточить навыки работы с интегралами, которые понадобятся в любой области, где используются количественные вычисления, — от физики до финансирования.
Одна из таких мозгодробительных задач — вычисление объема твердого тела, которое является общей частью двух одинаковых цилиндров67, пересекающихся под прямым углом.
Требуется очень богатое воображение, чтобы представить себе эту трехмерную фигуру. Поэтому нет ничего постыдного в том, чтобы признать свое поражение и отыскать другой способ ее визуализации. В настоящее время компьютерная графика68 позволяет легко воспроизвести подобные фигуры[24].
Примечательно, что фигура имеет квадратное поперечное сечение, несмотря на то что является пересечением круглых цилиндров.
Сделаем стопку из бесконечного множества тонюсеньких квадратов, которая сужается от большого квадрата в середине фигуры до все более маленьких квадратиков и превращается в точку вверху и внизу.
Изобразить фигуру — всего лишь первый шаг. Для определения ее объема надо вычислить объемы всех отдельных составляющих ее кусочков. Архимеду удалось это сделать только в силу своей поразительной изобретательности69. Он использовал механический метод, основанный на рычаге и центрах тяжести, по сути, взвешивая фигуру в своем сознании, уравновешивая ее другими, уже ему известными. Недостатком его подхода, помимо того что он требовал гениальных способностей, было то, что его можно было применить только к очень ограниченному числу фигур.
