Спросите своих друзей «Чему равна сумма первых десяти нечетных чисел?»
Вероятно, они скажут, что они этого не знают, или начнут складывать ряд чисел:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.
Покажите им, что:
Сумма первого нечетного числа равна 1.
Сумма первых двух нечетных чисел равна 4.
Сумма первых трех нечетных чисел равна 9.
Сумма первых четырех нечетных чисел равна 16.
Сумма первых пяти нечетных чисел равна 25
И так далее.
Довольно скоро ваши друзья скажут что-нибудь вроде «Тогда сумма первых десяти нечетных чисел должна быть равна 100». Они научились этому трюку, позволяющему складывать последовательности нечетных чисел.
Но попросите их объяснить, почему этот трюк обязательно должен работать, и средний человек, если он не математик, не сможет ответить. (А наше начальное образование таково, что многие не будут даже знать с чего начать, чтобы получить ответ).
В данном случае нужно было заметить различие между порядковым номером данного нечетного числа и его количественным значением, то есть различие в логическом типе! Мы привыкли к тому, что название чисел всегда совпадает с их численным значением [Иначе говоря, можно сказать, что число чисел во множестве — это не то же самое, что сумма чисел в этом множестве. Так или иначе, здесь мы встречаемся с разными логическими типами.]. Но в данном случае, имя — это, конечно, не то же самое, что объект, который оно обозначает.
Сумма первых трех нечетных чисел равна 9, то есть квадрату порядкового имени наибольшего числа в последовательности, которую необходимо просуммировать (в нашем случае, порядковое имя 5 — «3»). Или, если хотите, это квадрат числа чисел в этой последовательности. Вот словесное выражение описанного трюка.
Чтобы доказать, что этот трюк будет работать, мы должны показать, что разность между двумя последовательными суммами нечетных чисел всегда равна разности между квадратами их порядковых имен.
Например, сумма первых пяти нечетных чисел минус сумма первых четырех нечетных чисел должна равняться 5>2 — 4>2. В тоже время можно заметить, что разность между этими двумя суммами должна быть последним нечетным числом, добавленным к этому множеству. Иначе говоря, последнее добавленное число должно быть равно разности между квадратами.
Рассмотрим этот вопрос на зрительном языке. Мы должны показать, что при добавлении следующего нечетного числа к сумме предыдущих нечетных чисел эта сумма всегда возрастет ровно настолько, чтобы стать равной квадрату порядкового имени этого нечетного числа.
