Разум и природа | страница 55
Но многие школьники не знают, что это биномиальное равенство имеет геометрическое доказательство (см. рис. 6). Рассмотрим отрезок XY, состоящий из двух частей, a и b. Этот отрезок геометрически представляет число (a+ b), а площадь квадрата, построенного на XY, равна (a + b)>2, что и называется возведением в квадрат.
Этот квадрат можно теперь разделить, отложив длину а вдоль отрезка XY и вдоль одной из прилежащих сторон квадрата и проведя соответствующие прямые параллельно его сторонам. Теперь школьник может заметить, что квадрат разделен на четыре части, а именно, что он состоит из двух квадратов, один из которых имеет площадь а>2, а другой b>2, и из двух прямоугольников, каждый из которых имеет площадь (a x b) (и, следовательно, общую площадь 2ab).
Таким образом, известное алгебраическое равенство (a + b)>2 = a>2 + 2ab + b>2 оказывается, по-видимому, верным и в евклидовой геометрии. Но, конечно, вряд ли можно было рассчитывать, что отдельные части равенства (a + b)2 = a>2 + 2ab + b>2 будут отчетливо отделены друг от друга и в переводе на язык геометрии.
Но что это значит? По какому праву мы подставили вместо а так называемую «длину» и другую длину вместо b, а затем предположили, что при их соединении получится отрезок (a + b), и так далее? Можем ли мы быть уверены, что длины отрезков подчиняются арифметическим правилам? Чему научился школьник, узнав формулировку этого старого равенства на новом языке?
В некотором смысле, ничего не добавилось. Когда я показал, что равенство (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 выполняется не только в алгебре, но и в геометрии, не было получено никакой новой информации и не было понято ничего нового.
Но значит ли это, что язык как таковой не содержит информации?
Даже если в результате этого небольшого математического фокуса с математической точки зрения ничего не добавилось, я все же убежден, что от знакомства с ним школьник сможет кое-чему научиться. Это вклад в дидактический метод. Открытие (если это открытие), что два языка (алгебра и геометрия) могут переводиться с одного на другой, само по себе является откровением.
Может быть, следующий математический пример поможет читателю лучше понять, что достигается при использовании двух языков. [Об этой для большинства людей неизвестной закономерности я узнал благодаря Гертруде Гендрикс: Gertrude Hendrix, «Learning by Discovery,» The Mathematics Teacher 54 (May 1961): 290–299. (Гертруда Генрикс, «Обучение через открытие», Учитель математики 54 (Май 1961): 290–299.)]
