Синергетика. Основы методологии | страница 14

Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.

Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(>μ).

Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид d>μ/dt = f(1->μ)>μ.

Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки >μ=0 и >μ= 1. Точка >μ=0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка >μ=0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения — зависимость d>μ/dt от >μ, представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.

В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного — неустойчивого состояния в другое — устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае >μ< 1 имеет вид.

При стремлении >μ к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры >μ в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи >μ=0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту >μ = 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.

Этот закон является простейшим законом, описывающим непрерывным образом формирование новых структур.

Существуют и другие дифференциальные уравнения, решения которых дают функции, позволяющие смоделировать плавный переход из одного состояния в другое. В частности, при анализе роста и размножения биологических объектов нами было получено дифференциальное уравнение d>μ/dt = ->μln>μ, обладающее теми же стационарными точками, что и логистическое уравнение, но позволяющее вместе со своим аналогом, итерационным соотношением со степенной правой частью единым образом описывать рост и размножение объектов.

Во многих случаях процесс роста сложных систем происходит не непрерывно, а путём размножения элементов системы или поглощения растущей системой новых элементов. Если скачки параметра целого малы, то в первом приближении этот дискретный процесс может быть заменён непрерывным, и для его описания может быть использован аппарат дифференциальных уравнений, в противном случае для описания динамики роста и стабилизации структур может быть использован аппарат итерационных соотношений.