Синергетика. Основы методологии | страница 13

Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.

Начнём анализ с автономной итерационной системы.

Выполнение условия >μ>n = F(>μ>n) означает, что система находится в стационарном состоянии.

Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается >μ>SU, если существует некоторая область (окрестность >μ>SU) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой-то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого >μ>SU. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению >μ>SU, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.

В общем случае график >μ>2 = F(>μ>1), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.

Если кривая >μ>2 = F(>μ>1), определяемая соответствующим итерационным соотношением >μ>n+1 = F(>μ>n), пересекает прямую >μ>2 = >μ>1, в точке >μ>S и |F^>1(>μ>1)| < 1, то >μ>S — устойчивая стационарная точка, а если |F^>1(>μ>1)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка d>μ/df = f(>μ). Его общее решение имеет вид.

Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(>μ), например, при помощи дробно-рациональной функции

можно найти коэффициенты аппроксимации a_>i, b_>i, соответствующие экспериментальным данным.

Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(>μ) описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(>μ) могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.