Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 58
Я так и сделал. Но дальше - новое затруднение. Куда положить полтинник? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала гривенник на первое блюдце, пятиалтынный на третье и затем гривенник тоже на третье. Теперь полтинник можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.
- Сколько же ты проделал всех перекладываний? - спросил брат, одобрив мою работу.
- Не считал.
- Давай сосчитаем. Интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть цели. Если бы стопка состояла не из 5, а только из 2 монет - пятиалтынного и гривенника, - то сколько понадобилось бы ходов?
- Три: гривенник на среднее блюдце, пятиалтынный - на третье и затем гривенник на третье блюдце.
- Правильно. Прибавим теперь еще монету - двугривенный - и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести стопку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно перенесем меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем двугривенный на свободное третье блюдце - 1 ход. А тогда переносим обе монеты со среднего блюдца тоже на третье - еще 3 хода. Итого всех ходов:
3 + 1 + 3 = 7.
- Для четырех монет число ходов позволь мне сосчитать самому. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце - 7 ходов; потом полтинник на третье блюдце - 1 ход и затем снова три меньшие монеты на третье блюдце - еще 7 ходов. Итого:
7 + 1 + 7 = 15.
- Отлично. А для пяти монет?
- 15 + 1 + 15 = 31, - сразу сообразил я.
- Ну, вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7, 15, 31 - все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри.
Рис. 86. Жрецы обязаны перекладывать кружки…
И брат написал табличку:
3 = 2 х 2-1
7 = 2 х 2 x 2-1
15 = 2 х 2 х 2 х 2-1
31=2 x 2 x 2 x 2 x 2-1.
- Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой стопки монет. Например, для 7 монет:
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2-1 = 128 -1 = 127.
- Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в стопке число монет нечетное, то первую монету перекладывают на третье блюдце, если четное - то на среднее блюдце.
- Ты сказал: старинная игра. Разве не сам ты ее придумал?
